SISTEMAS

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU


Existem vários métodos de resolução entre os quais:


1) MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Este método consiste em achar o valor de uma das incógnitas em uma das equações e substituí-la na outra


EXEMPLO 1

Seja o sistema

X + Y = 5
X - Y = 1

Da primeira equação podemos tirar que:

x + y = 5 sendo assim passando o y para o outro lada do igual e invertendo os sinais fica: x= 5-y

já que x vale ou é igual (5 -y) substituindo o valor de x na outra equação do sitema temos :

X – y = 1
(5 –y) – y = 1
-y –y = 1 -5
-2y= -4
y = -4 / -2
y= 2

Substituindo y por 2 em x = 5 – y
____________________x = 5 -2
____________________x = 3

portando o resultando do sistema é ( 3,2)


EXEMPLO 2

Seja o sistema

X – 2y = 3
2x – 3y = 5

Sendo assim da primeira equação tiramos

X – 2y = 3 __________ x = 3 + 2y

Substituindo o valor de x na segunda equação :

2x – 3y = 5
2(3 + 2Y) – 3y = 5
6 + 4y – 3y = 5
4y – 3y = 5 – 6
y = -1

Substituindo y por -1 em :
x = 3 + 2y
x = 3 + 2 (-1)
x = 3 – 2
x = 1

logo a solução é ( 1 , -1)


2) MÉTODO DA ADIÇÃO

Este método consiste na eliminação de uma das incógnitas, adicionando-se membro a membro as duas equações. É necessário que os coeficientes da incógnita que se deseja eliminar sejam simétricos .


EXEMPLO 1

Seja o sistema

X + y = 5
x – y = 1

Somando-se membro a membro as duas equações:

x + y = 5
x – y = 1
-----------
2x = 6

x= 6/2
x= 3

Substituindo esse valor de x em uma das equações dadas ( por exemplo na primeira)

x + y = 5
3 + y = 5
y= 5 – 3

y = 2

logo a solução é : (3,2)


EXEMPLO 2


Seja o sistema

4x - y = 2
3x + 2y = 7

Neste caso, não temos coeficientes simétricos. Vamos então multiplicar todos os termos da primeira equação por 2:

8x - 2y = 4
3x + 2y = 7
-----------
11x = 11

x = 11/11

x = 1

Vamos substituir este valor de x em uma das equações dadas (por exemplo, na segunda):

3x + 2y =7
3.1 + 2y + 7
3 + 2y = 7
2y = 7-3
2y = 4
y = 4/2

y = 2

Solução (1,2)

EXEMPLO 3


Seja o sistema

4x + 2y = 16
5x - 3y = 9



4X + 2Y = 16 ( vamos multiplicar essa equação por 3)
5x – 3y = 9 ( vamos multiplicar essa equação por 2)

Observe
Somando membro a membro as equaçãos

12x + 6y = 48
10x - 6y = 18
----------------
22x = 66

x= 66/22
x = 3

Substituindo-se esse valor de x em uma das equações dadas ( por exemplo, na primeira)

4x + 2y = 16
4.3 + 2.y= 16
12 + 2y = 16
2y = 16 – 12
2y = 4
y = 4/2
y = 2

solução (3,2)


EXERCICIOS


A) Calcule os sistemas


1) x - 3y = 1
_2x +5y = 13________ (R:4,1)


2) 2x + y = 10
__x + 3y = 15________ (R:3,4)

3) 3x + y = 13
__2x - y = 12________ (R:5,-2)

4) 2x + 7y = 17
__5x - y = -13________ (R:-2,3)

5) 2x + y = 4
__4x - 3y = 3________ (R:3/2,5)

6) x + y = 2
_3x + 2y = 6________ (R:2,0)

7) x/2 + y/3 = 3
____x - y = 1________ (R:4,3)

8) x - y =5
__x +y = 7________ (R:6,1)

9) x - y =2
_2x +y = 4________ (R:2,0)

10) x + y =3
__2x +3y = 8________ (R:1,2)

11) x - 3 = 0
__2x - y = 1________ (R:3,5)

12) 3x + y =5
___2x +y = 4________ (R:1,2)

13) x = y - 2
__2x +y = -1________ (R:-1,1)

14) x - y -2 = 0
__2x +y – 7= 0________ (R:3,1)

15) x + y = 7
___x -y = 1________ (R:4,3)

16) x + y = 6
___2x +y = 4________ (R:-2,8)

17) 2x + y = 5
___x + 2y = 4________ (R:2,1)

18 ) x + y = 11
___x - y = 3________ (R:7,4)

19) x - y = 16
___x +y = 74________ (R:45,29)

20) x - y = 1
___x +y = 9________ (R:5,4)

21) 2x - y = 20
___2x +y = 48________ (R:17,14)

22) x + y = 1
___x - y = 7__________ (R:4, -3)

23) x + y = 3
___x - y = -5_________ (R:-1,4)

24) x + y = 5
___x- y = -5_________ (R: 0,5)

25) Se x e y é a solução do sistema

x + y = 4
x+ 2y = 6

então x - y é:
a) 8
b) 6
c) 4
d) 2
e) 0 (X)


26) Se x e y é a solução do sistema
a + b = 3
2a+ b = 5

então a - b é:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 3
e) 1 (X)

27) Qual a solução do sistema de equações abaixo?

x – y = 3
2x + y = 9

a)(1,0)
b)(2,3)
c)(3,2)
d)(4,1) (X)
e)(5,3)

28) A solução do sistema

2x + y = 10
x + 3y = 15 é

a) x=3 e y=4 (X)
b) x=3 e y=5
c) x=2 e y=4
d) x=1 e y=5
e) x=5 e y=3

29) Se x e y é a solução do sistema

x + 3y = 9
3x+ 2y = 6

então x - y é:

a) 0 (X)
b) 3
c) 6
d) 9



B) RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM SISTEMAS

1) Determine dois números, sabendo que sua soma é 43 e que sua diferença é 7 (R:25,18)

2) Um marceneiro recebeu 74 tabuas de compensado. Algumas com 6 mm de espessura e outras com 8 mm de espessura. Quando foram empilhadas atingiram uma altura de 50 cm. Quanta tabua de 8mm ele recebeu? (R: 28)

3) Em um estacionamento havia carros e motocicletas num total de 43 veículos e 150 rodas. Calcule o numero de carros e de motocicletas estacionadas. (R:32,11)

4) Uma empresa deseja contratar técnicos e para isso aplicou um prova com 50 perguntas a todos os candidatos. Cada candidato ganhou 4 pontos para cada resposta certa e perdeu um ponto para cada resposta errada. Se Marcelo fez 130 pontos quantas perguntas ele acertou? (R: 36)

5) Pedro e Paulo tem juntos R$ 81,00. Se Pedro der 10% do seu dinheiro a Paulo eles ficarão com quantias iguais. Quanto cada um deles tem? (R: 45,36)

6) Descubra dois números inteiros que somados dão 88, sabendo que um é igual ao triplo do outro (R:66,22)

7) Num quintal há 100 animais entre galinhas e coelhos. Sabedo que o total de pés é 320, quantas galinhas e quantos coelhos há nesse quintal? (R 40,60)

8) Num estacionamento há 80 veiculos, entre motos e carros. Se o total de rodas é 190, quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento? ( R:65,15)

9) Um teste é composto de 40 questões. Para cada questão respondida certa são atribuidos três pontos (+3) Para cada questão respondida errada são descontados dois pontos (-2) Ilda respondeu a todas as questões desse teste e fez um total de 75 pontos . quantas questões foram respondidas certas? ( R: 31)

10) Um caminhão carrega 5000 pacotes de açucar de 2 kg e de 5 kg num total de 15 400 kg. Quantos pacotes de 2 kg e 5 kg esse caminhão está transportando ? (R: 3200,1800)

11) Ache dois números que a soma deles é 354 e a diferença entre eles é 128. ( R: 241,113)


SISTEMAS SIMPLES DO 2° GRAU

Vamos resolver sistemas que possuem uma equação do 1° grau e outra do 2° grau polo método da substituição .

Exemplo

a)x - y = 1
__x . y = 6

Isolando x na equação x - y = 1, temos x = 1 + y
substituindo esse valor de x em x . y = 6 , obtemos,
(1+ y) . y = 6
y + y² = 6
y² + y - 6 = 0

resolvendo essa equação do 2° grau temos:

solução ( 2 e -3)

b) x + y = 7
___x². y² = 25

Isolando x na equação x + y = 7, temos x = 7 - y
substituindo esse valor de x em x². y² = 25, obtemos

(7 - y)² + y² = 25
49 - 14y + y² + y² = 25
2y² - 14y + 49 - 25 = 0
2y² - 14y + 24 = 0

resolvendo essa equação do 2° grau temos:

solução [(3 e 4) e (4 e 3)]

Exercícios


1)x + y = 7______ (R:2,5 ou 5,2)
__x . y = 10

2)x + y = 5______ (R:2,3 ou 3,2)
__x . y = 6

3) x - y = 9______ (R:2,-7 ou -7,2)
__x . y = -14

4) x - y = 3______ (R:6,3 ou -3,-6)
__x²+ y² = 45

5) x - y = 1______ (R: 4,3 ou -3,-4)
__x²+ y² = 25

b) x - y = 0______ (R: 2,2 ou -2,-2)
__5x²- y² = 16